Sile koje deluju na motorno vozilo

Gp = Zp = G*lz/l
Gz = Zz = G*lp/l

gde su 
 Gp, Gz - statičko opterećenje prednjeg i zadnjeg mosta
 Zp, Zz - normalne statičke reakcije tla prednjeg i zadnjeg mosta
 lp- udaljenost težišta od prednje osovine
 lz - udaljenost težišta od zadnje osovine
 l - razmak između prednje i zadnje osovine

Kratak komentar o smerovima i jednakosti intenziteta

U statičkoj ravnoteži vertikalne sile zadovoljavaju: reakcije podloge (Zp i Zz, usmerene nagore) tačno odbijaju ukupnu težinu (G, nadole). Dakle, Zp + Zz = G. Po definiciji iz postavljenog zadatka, Za svaku osovinu reakcija i težina te osovine u ravnoteži. (tj. Zp = Gp, Zz = Gz ako se porede po osovinskim komponentama).

Jednačine ravnoteže — izvođenje

Koristimo standardne uslove ravnoteže u vertikalnom pravcu i ravnotežu momenata (uzimamo pozitivne smerove prema dogovoru):

ΣY = 0   =>   Zp + Zz - G = 0
          => Zp + Zz = G      (1)

Uzmi moment oko prednje osovine (momenti su pozitivni u odabranom smeru):
ΣMp = 0 => -G * lp + Zz * l = 0
          => Zz * l = G * lp
          => Zz = (G * lp) / l      (2)

Uzmi moment oko zadnje osovine:
ΣMz = 0 => -Zp * l + G * lz = 0
          => G * lz = Zp * l
          => Zp = (G * lz) / l      (3)
  

Iz formule do lp i lz

Ako želimo izračunati lp i lz) iz poznatih reakcija Zp i Zz (ili obrnuto), preuredimo (2) i (3):

Iz (2): Zz = (G * lp) / l   =>   lp = (l * Zz) / G

Iz (3): Zp = (G * lz) / l   =>   lz = (l * Zp) / G
  

Ove formule su konzistentne i sa uslovom (1): lp + lz = l, jer lp + lz = (l/Z) * (Zz + Zp) / G * l = l * (Zp+Zz)/G = l * G/G = l.

Alternativna forma — izražavanje reakcija preko pomaka težišta

Iz (2): Zz = (G * lp) / l
Iz (3): Zp = (G * lz) / l

Takođe: Zp + Zz = G
  

Ako je udaljenost težišta od pojedinih osovina nepoznata, može se iz gornjih izraza izra;unati merenjem opterećenja na jednoj osovini, postavljanjem na vagu

 lp = (l * Gz) / G

 lz = (l * Gp) / G
  

Numerički primer

Recimo: ukupna težina vozila G = 12 000 N, međuosovinski razmak l = 2,5 m. Pretpostavimo da merenjem dobijemo reakcije: Zp = 5 000 N i Zz = 7 000 N (proveri da je zbir = G).

Izračunavanje lz:
lz = (l * Zp) / G = (2.5 m * 5000 N) / 12000 N = 12 500 / 12 000 ≈ 1,0417 m

Izračunavanje lp:
lp = (l * Zz) / G = (2.5 m * 7000 N) / 12000 N = 17 500 / 12 000 ≈ 1,4583 m

Provera: lp + lz ≈ 1,4583 + 1,0417 = 2,5 m = l
  

Napomene i praktični komentari

• Ako se opterećenje pomeri unazad (više mase na zadnjoj osovini), Zz raste, pa po formuli raste i lp — to znači da je težište dalje od prednje osovine.
• U praksi Gp i Gz često mernim postupkom odredimo direktno (puteći trake, merna vaga po točkovima), i zatim izračunavamo položaj težišta prema formuli.
• Prilikom crtanja na slici: postavi strelicu G (ukupna težina) u težištu vozila (sredina visine težišta) i strelice Gp/Gz tačno iznad prednje / zadnje osovine ako želiš vizualizovati kako se raspodeljuje težina.

Položaj težišta vozila

Položaj težišta se kod vozila menja u zavisnosti od korisnog opterećenja, broja putnika, postojanja dodatnog balasta ili priključnog oruđa (kod radnih vozila) i drugih faktora.

Težište vozila ima veliki uticaj na raspodelu težine po osovinama, stabilnost pri vožnji, kao i na prijanjanje točkova uz podlogu. Kada se težište pomera unapred — povećava se opterećenje prednje osovine (Z_p), dok se kod pomeranja unazad povećava opterećenje zadnje osovine (Z_z).

Kod vozila sa dodatnim teretom ili putnicima, težište se obično pomera ka sredini ili zadnjem delu, što može da utiče na promenu upravljivosti i stabilnosti pri kočenju. Kod teretnih i radnih vozila, položaj težišta posebno je važan za sprečavanje prevrtanja i održavanje dovoljnog prijanjanja pogonskih točkova.

Uticaj položaja težišta na raspodelu težine

Položaj težišta može se izraziti pomoću rastojanja:

• l_p – rastojanje od težišta do prednje osovine
• l_z – rastojanje od težišta do zadnje osovine
• l – ukupno međusovinsko rastojanje (osovinski razmak)
• h_c – visina težišta iznad podloge

Raspodela težine i visina težišta značajno utiču na stabilnost pri vožnji po krivini, pri ubrzanju i kočenju. Što je težište niže, to je vozilo stabilnije i manje sklono prevrtanju.

Tipične vrednosti položaja težišta

U tabeli su prikazane približne vrednosti odnosa položaja težišta (l_p/l) i visine težišta (h_c) za različite tipove vozila:

Vrsta vozila	Odnos lp/l	Visina težišta hc [m]
Putničko vozilo	0,45 – 0,50	0,45 – 0,60
Laki dostavni automobil	0,40 – 0,45	0,55 – 0,70
Kamion (prazan)	0,35 – 0,40	0,90 – 1,20
Kamion (opterećen)	0,40 – 0,45	1,00 – 1,40
Autobus	0,45 – 0,50	0,80 – 1,10
Traktor (radno vozilo)	0,35 – 0,40	0,90 – 1,30
Terensko vozilo (SUV, 4×4)	0,45 – 0,50	0,70 – 0,90

Napomena: vrednosti su orijentacione i mogu varirati zavisno od konstrukcije, rasporeda mase i opterećenja vozila. Za tačne proračune koristi se merenje osovinskih opterećenja.

Visina težišta vozila (h_c)

Visina težišta je vertikalno rastojanje između težišta i ravni oslonca (podloge). Ona ima ključnu ulogu u stabilnosti vozila, jer određuje koliki moment naginjanja nastaje pri prolasku kroz krivinu, ubrzanju ili kočenju.

Što je visina težišta veća – vozilo je nestabilnije, a rizik od prevrtanja veći. Niže težište omogućava bolje prijanjanje, manji prenos opterećenja sa jedne osovine na drugu i sigurnije ponašanje u krivinama.

Uticaj promene opterećenja

Kada se korisno opterećenje poveća (putnici, teret, priključna oprema), težište se obično pomera nagore i ka zadnjem delu vozila. To menja raspodelu sila po osovinama — prednja osovina se rasterećuje, što može uticati na upravljivost i efikasnost kočenja.

Određivanje visine težišta

Visina težišta se može odrediti eksperimentalno ili proračunom:

• merenjem reakcija osovina kod nagnutog vozila,
• računskim putem na osnovu geometrije i mase delova,
• prema podacima proizvođača (za prazno i opterećeno stanje).

Tipične vrednosti visine težišta kod putničkih vozila su oko 0,5 m, dok kod teretnih i radnih mogu dostići i preko 1,2 m.

Zaključak: Visina težišta (h_c) je jedan od ključnih parametara za bezbednost i stabilnost vozila. Nisko težište doprinosi stabilnijem kretanju i smanjenju rizika od prevrtanja, dok povišeno težište zahteva pažljiviji dizajn ovjesa i ograničavanje brzine u krivinama.

Kratak komentar — šta merimo i zašto

Kod naginjanja vozila usled bočne sile ili nagiba terena interesuje nas moment (moment sile teže) koji teži da nagne ili prevrne vozilo. Taj moment nastaje jer linija delovanja težine (G = m·g) dobija horizontalnu ekscentričnost u odnosu na osu za koju računamo moment.

Fizički pristup i osnovna formula

Teža vozila G = m · g deluje vertikalno nadole. Ako se vozilo nagne za ugao α, horizontalna ekscentričnost težišta u odnosu na ravnotežni položaj iznosi hc · sin(α). Moment koji deluje oko izabrane ose (npr. ivice oslonca) računa se kao:

 M = G · (horizontalna ekscentričnost) = G · hc · sin(α) takođe: G = m · g → M = m · g · hc · sin(α) 

Numerički primer — zadatak

Podaci: vozilo ima masu m = 2500 kg, visinu težišta hc = 0.85 m, ugao nagiba α = 15°. Koristimo g = 9.81 m/s².

Korak 1 — izračun sile teže

 G = m · g = 2500 kg · 9.81 m/s² = 24 525 N 

Korak 2 — proizvod G · hc

 G · hc = 24 525 N · 0.85 m = 20 846.25 N·m 

Korak 3 — vrednost sin(α)

 sin(15°) ≈ 0.2588190451 

Korak 4 — konačan moment

 M = G · hc · sin(α) = 20 846.25 · 0.2588190451 ≈ 5 395.41 N·m 

Rezultat

Moment pri naginjanju pod uglom 15° iznosi približno: M ≈ 5 395.41 N·m (zaokruženo na dve decimale).

Dodatna analiza — kada vozilo može da počne da se prevrće?

Moment sam po sebi govori koliko „snage“ moment teže stvara da nagnje vozilo, ali da bismo procenili prevratanje, često koristimo uslov da li linija delovanja težine prestaje da prolazi unutar baze oslonca (širine traga). Ako je polu-trag (polovina track width) označen sa b, kritični ugao α_krit pri kojem linija delovanja teže prolazi tačno preko ivice baze zadovoljava:

 hc · sin(α_krit) = b => sin(α_krit) = b / hc dakle: α_krit = arcsin(b / hc) 

Napomena: uslov ima smisla samo ako b ≤ hc. Ako je b>hc, linearnom ekscentričnošću koja daje tipping neće se dostići prevrnuto stanje jednostavnim nagibom (trebaju dodatne sile).

Primer procene (pretpostavka za ilustraciju)

Ako pretpostavimo tipičan trag vozila oko 1.6 m (polu-trag b = 0.8 m), tada:

 sin(α_krit) = b / hc = 0.8 / 0.85 ≈ 0.941176 α_krit = arcsin(0.941176) ≈ 70.6° 

Dakle, pri ovim parametrima vozilo bi postiglo položaj u kome linija delovanja težine prolazi preko ivice baze tek oko nagiba ≈ 70.6° — što je vrlo veliki ugao (u praksi se pre toga javljaju druge destabilizujuće sile).

Praktične napomene

• Ovo je pojednostavljen model: zanemareni su efekti dinamike, lateralnih ubrzanja, raspodele mase (pozicija težišta u uzdužnom i bočnom pravcu) i deformacija sistema vešanja.
• Za procene stabilnosti pri bočnim ubrzanjima (npr. pri naglim skretanjima) koristi se i faktor lateralnog ubrzanja i analiza sila u horizontalnoj ravni.
• Ako želiš, mogu da preračunam kritični ugao za tvoju tačnu širinu traga — samo pošalji vrednost track width (ili polu-traga b) i ja ću izračunati α_krit. Takođe mogu izračunati i restorativne/otporne momente ako daš detalje o rasporedu reakcija (Zp, Zz) i širini oslonca.

Lekcija: Sile koje deluju na motorno vozilo

Pitanja

1. Nabroj aktivne sile koje deluju na vozilo tokom kretanja.
2. Koje sile se ubrajaju u sile reakcije i gde deluju?
3. Šta predstavlja težina vozila i od kojih se delova sastoji?
4. Kako se raspodeljuje težina vozila na osovine kod vozila u mirovanju?
5. Kako promena opterećenja (npr. dodatni teret ili putnici) utiče na raspodelu reakcija Zp i Zz?
6. Objasni značenje veličina l_p, l_z i l u analizama ravnoteže sila.
7. Koje posledice po stabilnost ima povećanje visine težišta h_c?
8. Zašto se kod konstrukcije težište vozila nastoji spustiti što niže?
9. Koje sile predstavljaju otpor kretanju i kako utiču na performanse vozila?
10. Koja je razlika između statičkog i dinamičkog stanja vozila pri analizi sila?

Numerički primeri

1. Težina vozila iznosi G = 18 kN, rastojanje između osovina l = 3 m, a udaljenost težišta od prednje osovine l_p = 1.2 m. Izračunaj reakcije Zp i Zz.
2. Vozilo mase 2500 kg ima visinu težišta h_c = 0.85 m. Koliki je moment koji deluje pri naginjanju vozila pod uglom 15°?
3. Za kamion sa međuosovinskim rastojanjem 4.2 m i težištem pomerenim 1.6 m od prednje osovine, izračunaj odnos Zp : Zz.

Prikaži odgovore i rešenja (samo za nastavnike)

Visina težišta vozila (h_c)

Položaj težišta vozila određuje se ne samo po dužini (raspodela težine između prednje i zadnje osovine), već i po visini. Visina težišta označava se sa h_c i meri se kao udaljenost težišta od tla (ravni oslonca vozila).

Fizičko značenje

Visina težišta značajno utiče na stabilnost vozila. Što je težište niže, to je vozilo stabilnije pri naginjanju, skretanju ili pri prelasku neravnina. Suprotno tome, viši položaj težišta povećava rizik od prevrtanja i smanjuje sigurnost u krivinama.

Uticaj visine težišta na stabilnost

• Veće h_c → veći moment prevrtanja pri bočnim ubrzanjima (manja stabilnost).
• Niže h_c → manji moment prevrtanja, bolja upravljivost i stabilnost u krivinama.
• Položaj težišta zavisi od rasporeda mase (motor, teret, putnici, gorivo, dodatna oprema).

Izračunavanje momenta pri naginjanju

Ako vozilo mase m ima visinu težišta h_c i pri skretanju deluje bočno ubrzanje a_y, moment naginjanja oko spoljne točke oslonca je:

M_n = m · g · h_c · (a_y / g) = m · h_c · a_y

Stabilnost se održava dok je ovaj moment manji od momenta vraćanja, koji zavisi od širine traga točkova b i težine vozila.

M_n < (G · b) / 2

Kada se ovi momenti izjednače, vozilo počinje da gubi stabilnost i dolazi do prevrtanja.

Uticaj promene opterećenja

• Dodavanje putnika ili tereta povećava ukupnu masu m i pomera težište nagore (povećava h_c).
• Balast nisko postavljen (npr. akumulator, rezervoar) može pomoći u snižavanju h_c.
• Radna vozila (traktori, kamioni) posebno su osetljiva na promenu h_c zbog promene položaja tereta.

Tipične vrednosti visine težišta

Vrsta vozila	Odnos lp/l	Visina težišta hc [m]
Putničko vozilo	0.45 – 0.50	0.45 – 0.60
Teretno vozilo	0.40 – 0.45	0.80 – 1.30
Traktor / radno vozilo	0.35 – 0.40	0.80 – 1.40
Sportsko vozilo	0.48 – 0.52	0.30 – 0.45

Zaključak

Visina težišta je ključni faktor u projektovanju i eksploataciji motornih vozila. Nisko težište obezbeđuje bolju stabilnost, dok visoko težište povećava rizik od prevrtanja, naročito kod brzih skretanja i naglih promena pravca. Razumevanje odnosa između visine težišta, širine traga točkova i raspodele težine po osovinama od suštinskog je značaja za bezbednost i pravilno upravljanje vozilom.

Dinamička raspodela težine pri ubrzanju i kočenju

Do sada je razmatrana statička raspodela težine, gde vozilo miruje ili se kreće jednolikom brzinom. Međutim, u realnim uslovima kretanja vozila se težište dinamički pomera zbog dejstva inercionih sila.

Promena opterećenja pri ubrzanju

Kada vozilo ubrzava, masa teži da „zaostane“ za kretanjem, što izaziva pojavu inercione sile usmerene unazad. Ova sila deluje u ravni težišta i izaziva moment oko tačaka oslonca, zbog čega se vozilo delimično „naginje unazad“.

Posledica toga je:

• Smanjuje se reakcija podloge na prednjoj osovini (Z_p ↓)
• Povećava se reakcija podloge na zadnjoj osovini (Z_z ↑)

Dinamička promena raspodele težine pri ubrzanju može se izraziti kao:

ΔZ = (m · a · h_c) / l

gde su:

• m – masa vozila
• a – uzdužno ubrzanje
• h_c – visina težišta
• l – međusovinsko rastojanje

Tada opterećenja po osovinama postaju:

Z_p = Z_p0 − ΔZ  i  Z_z = Z_z0 + ΔZ

Ovaj efekat je izraženiji kod vozila sa većom visinom težišta i snažnim pogonom (npr. kod sportskih automobila ili pri naglom ubrzanju traktora i kamiona).

Promena opterećenja pri kočenju

Obrnut slučaj nastaje pri kočenju — inerciona sila deluje unapred, pa se težište pomera napred.

• Povećava se opterećenje prednje osovine (Z_p ↑)
• Smanjuje se opterećenje zadnje osovine (Z_z ↓)

Dinamička promena pri kočenju izražava se istom relacijom:

ΔZ = (m · a_k · h_c) / l

gde je a_k – negativno ubrzanje (usporenje) vozila. Veće usporenje ili veće težište dovode do većeg prenošenja težine napred.

Uticaj na ponašanje vozila

• Pri ubrzanju se poboljšava prijanjanje zadnjih (pogonskih) točkova, ali može doći do gubitka upravljivosti ako se prednji točkovi previše rasterete.
• Pri kočenju se povećava efikasnost prednjih kočnica, ali zadnji točkovi mogu lako da blokiraju, naročito kod lakih vozila.
• ABS sistemi i raspodela kočione sile koriste ove odnose za održavanje stabilnosti.

Primer proračuna

Vozilo mase 1500 kg, međusovinskog rastojanja 2.5 m i visine težišta 0.5 m koči sa usporenjem od 6 m/s².

ΔZ = (1500 · 6 · 0.5) / 2.5 = 1800 N

To znači da se tokom kočenja opterećenje prednje osovine poveća za 1800 N, dok se zadnje smanji za isti iznos.

Zaključak

Dinamička raspodela opterećenja pri ubrzanju i kočenju utiče na stabilnost, upravljivost i bezbednost vozila. Razumevanje ovih efekata je ključno pri konstruisanju sistema ogibljenja, rasporedu masa i podešavanju kočionih sistema.