Otpor uspona i otpor ubrzanja

Otpori kretanju su sile koje se suprotstavljaju kretanju vozila. Najčešće deluju suprotno od smera kretanja, ali u nekim slučajevima (npr. pri kretanju nizbrdo) mogu imati i isti smer kao kretanje i tada pomažu vozilu.

Otpori se dele na dve osnovne grupe:

• Stalni otpori – deluju pri svakom kretanju vozila (npr. kotrljanje i otpor vazduha).
• Povremeni otpori – javljaju se samo u određenim uslovima (otpor uspona i otpor ubrzanja).

Spadaju u pasivne otpore koji se ponekad javljaju u toku kretanja vozila.

Otpor uspona (R_u)

Otpor uspona javlja se kada se vozilo kreće uz nagib. Težina vozila G (u N) može se rastaviti na komponentu normalnu na podlogu i komponentu paralelnu sa podlogom. Paralelna komponenta je:

Ru = G · sin(α)   (N)

Gde su:

• G – težina vozila (N), često G = m · g (g ≈ 9.81 m/s²).
• α – ugao nagiba (alpha, α).

Ako je nagib dat u procentima (uspon u%), označimo u kao tangens ugla:

u = tan(α) = h / l

Tada se sin(α) može izraziti kroz u kao:

sin(α) = u / √(1 + u²)

Dakle, tačan izraz za otpor uspona je:

Ru = G · sin(α) = G · ( u / √(1 + u²) )

U praksi, za male nagibe (tipično do nekoliko procenata) vrijedi približavanje sin(α) ≈ tan(α) = u, pa se često koristi pojednostavljena forma:

Ru ≈ G · u   (ako je u = tan(α) mali)

Ako je nagib izražen kao procenat (npr. 10%), tada je u = 10% / 100 = 0.10 i često se zapisuje:

Ru ≈ G · (u% / 100)

Primer: za u% = 10% → u = 0.10 → sin(α) = 0.10 / √(1 + 0.10²) ≈ 0.0995, što je blizu 0.10, pa je aproksimacija dobra.

---

Otpor ubrzanja (R_a)

Otpor ubrzanja se javlja pri ubrzavanju (ili usporavanju) vozila i povezan je sa inercijom mase. Ako uzmemo samo translacionu masu vozila m (kg) i ubrzanje a (m/s²), sila ubrzanja iznosi:

Ra = m · a   (N)

Budući da je G = m · g, možemo ovu formulu zapisati i preko težine:

Ra = (G / g) · a

U realnim vozilima treba uračunati i rotacione inercije točkova, kardana i ostalih elemenata. Te rotacione inertije se često preračunavaju u ekvivalentnu translacionu masu (nazovimo je m_eq), pa se opšti izraz piše:

Ra = meq · a   (N)

Gde je m_eq = m + dodatni članovi koji predstavljaju preračunate rotacione inercije (zavisno od momenta inercije i prenosa).

Koeficijent rotirajućih masa (δ)

Da bi se uprostilo izračunavanje ukupnog otpora ubrzanja, otpor translatornog ubrzanja množi se sa koeficijentom rotirajućih masa δ (delta). Ovaj koeficijent obuhvata uticaj rotacionih delova vozila (točkova, vratila, zupčanika menjača i delova motora).

Ukupni otpor ubrzanja se tada izražava kao:

Ra = m · a · δ   (N)

Pomoću težine G = m·g:

Ra = (G / g) · a · δ

Koeficijent δ se sastoji iz dva dela:

• δ₁ – potiče od rotirajućih masa u točkovima, osovinama, diferencijalu i vratilima.
• δ₂ – potiče od rotirajućih masa motora (zamajac, radilica, pomoćni sistemi).

Kada se želi tačnije izračunavanje, tada se koristi formula koja uključuje prenosni odnos menjača i:

δ₁ = ( Σ(Jr / rw²) ) / m 

a doprinos motora preko prenosa iznosi:

δ₂ = ( Jm · i² ) / ( m · rw² )

Gde su:

• J_r – moment inercije rotirajućih delova na točkovima i osovinama
• J_m – moment inercije rotirajućih delova motora
• r_w – radijus točka (m)
• i – prenosni odnos izabranog stepena prenosa
• m – masa vozila (kg)

Ukupan koeficijent rotirajućih masa glasi:

δ = 1 + δ₁ + δ₂

Zbir je uvek veći od 1 jer rotacione mase uvek povećavaju efektivnu inerciju vozila.

Tipične vrednosti koeficijenata δ, δ₁ i δ₂:

• Putnički automobili: δ = 1.05 – 1.15
  δ₁ ≈ 0.04 – 0.07, δ₂ ≈ 0.01 – 0.05
• Autobusi: δ = 1.10 – 1.20
  δ₁ ≈ 0.05 – 0.08, δ₂ ≈ 0.03 – 0.08
• Kamioni i teška teretna vozila: δ = 1.15 – 1.25
  δ₁ ≈ 0.06 – 0.10, δ₂ ≈ 0.04 – 0.10

Vrednost δ₂ najviše zavisi od prenosa, jer povećanje prenosnog odnosa i povećava uticaj rotacionih masa motora (δ₂ raste proporcionalno sa i²).

Sažetak formula

• Otpor uspona: Ru = G · sin(α) = G · (u / √(1 + u²)) ≈ G · u (ako je u mali).
• Otpor ubrzanja: Ra = m · a = (G / g) · a (ili Ra = meq · a kada su uključene rotacione inercije).

Napomena: Sve sile su u N (njutnima). Ubrzanje a i gravitacija g su u m/s². Pri inženjerskim proračunima često se koristi aproksimacija sin(α) ≈ tan(α) ≈ u za male nagibe, ali za veće nagibe treba koristiti tačne trigonometrijske izraze.

Numerički primer – računanje otpora uspona i otpora ubrzanja

Zadatak:
Putničko vozilo mase m = 1400 kg kreće se brzinom v = 20 m/s (72 km/h) i ubrzava na 25 m/s. Put ima nagib od u = 4%. Izračunati:

1. Otpor uspona R_u
2. Otpor ubrzanja R_a za ubrzanje od 1 m/s²
3. Ukupan povremeni otpor R_pov = R_u + R_a

Rešenje:

1. Otpor uspona
Formula: R_u = m · g · u
g = 9,81 m/s²
u = 4% = 0,04

R_u = 1400 · 9,81 · 0,04 = 549,36 N

---

2. Otpor ubrzanja
Formula: R_a = m · a
Uzimamo prosečno ubrzanje: a = 1 m/s²

R_a = 1400 · 1 = 1400 N

---

3. Ukupan povremeni otpor

R_pov = R_u + R_a
R_pov = 549,36 + 1400 = 1949,36 N

Vozilu je potrebno približno 1950 N dodatne pogonske sile da savlada uspon i izvrši ubrzanje.

Lekcija: Otpor uspona i otpor ubrzanja

Pitanja

1. Šta je otpor uspona i kako nastaje prilikom kretanja vozila uz nagib?
2. Napiši osnovnu formulu za otpor uspona R_u i objasni šta predstavlja α (alpha).
3. Kako se nagib puta izražava u procentima i kako se to koristi u formuli za otpor uspona?
4. Šta je otpor ubrzanja R_a i kako se računa za translacionu masu vozila?
5. Šta je koeficijent rotirajućih masa δ i kako utiče na ukupni otpor ubrzanja?
6. Koje faktore treba uzeti u obzir pri proceni uticaja rotacionih masa na ubrzanje vozila?
7. Zašto je važno razumeti razliku između stalnih i povremenih otpora u praksi kretanja vozila?

Numerički primer

1. Vozilo mase m = 2000 kg se kreće uz nagib od u% = 5% brzinom v = 15 m/s. Dati podaci: g = 9.81 m/s², δ = 1.1, α ≈ tan⁻¹(u) ≈ 2.86°. Izračunaj: (a) otpor uspona R_u, (b) otpor ubrzanja R_a (pretpostavimo ubrzanje a = 2 m/s²), (c) ukupni otpor kretanju R_uk = R_u + R_a · δ.

Prikaži odgovore i rešenja (samo za nastavnike)

Literatura i korisni izvori

Za detaljnije proučavanje otpora kretanju vozila, otpora uspona, otpora ubrzanja, koeficijenata rotirajućih masa (δ), kao i proračuna zasnovanih na konstruktivnim parametrima vozila, mogu se koristiti sledeći provereni izvori:

• Mićo Levi – Eksploatacija motornih vozila
  Jedan od najčešće korišćenih udžbenika u oblasti, sadrži formule, tabele i koeficijente za sve vrste otpora kretanja.
• Dr. Branko Putić – Teorija eksploatacije motornih vozila
  Detaljna razmatranja dinamike vozila, otpora kretanja i proračuna pogonskih sistema.
• Vehicle Dynamics – naučni radovi i poglavlja na ResearchGate
  Sadrži moderne pristupe proračunu otpora kretanja, aerodinamičkih karakteristika i ubrzanja.
• MDPI Vehicles – open access časopis o dinamici vozila
  Koristan za savremene modele otpora, simulacije i razvoj vozila.
• NPTEL – Vehicle Dynamics Course (Indian Institute of Technology)
  Odličan univerzitetski kurs, uključuje predavanja i formule vezane za sile, momente i kretanje vozila.
• Rolling Resistance – osnovno objašnjenje i formule
  Kratko i jasno objašnjenje otpora kotrljanja.
• Engineering Toolbox – Rolling Resistance
  Pruža praktične tabele i tipične vrednosti koeficijenata.

Ovi izvori povećavaju verodostojnost prezentovanog materijala i omogućavaju čitaocu da proveri formule, proširi znanje ili potvrdi proračune kroz stručnu literaturu i naučne radove.